Courant alternatif sinusoïdal

Un courant alternatif sinusoïdal change de sens périodiquement. Son intensité instantanée s’écrit sous la forme $i(t) = I_{m} \sin(\omega t + \varphi)$.

• $I_{m}$ : intensité maximale (amplitude), en ampères ($\mathrm{A}$) ;
• $\omega$ : pulsation, en radians par seconde ($\mathrm{rad\,s^{-1}}$) ;
• $\varphi$ : phase à l’origine, en radians ;
• $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$ : période, en secondes ; $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi}$ : fréquence, en hertz ($\mathrm{Hz}$).

Écrire une équation horaire

Si la tension est nulle à l’instant $t = 0$ et croît ensuite, sa phase à l’origine est nulle : $u(t) = U_{m} \sin(\omega t)$.

À retenir : la pulsation $\omega$ et la fréquence $f$ sont liées par $\omega = 2\pi f$. Ne les confonds pas !

Les appareils de mesure (ampèremètre, voltmètre en mode alternatif) affichent des valeurs efficaces. La valeur efficace est l’intensité du courant continu qui produirait le même échauffement dans la même résistance.

$$I = \frac{I_{m}}{\sqrt{2}} \qquad U = \frac{U_{m}}{\sqrt{2}}$$

Effet Joule

La chaleur dégagée par un conducteur ohmique pendant une durée $t$ se calcule avec la valeur efficace :

$$Q = R\, I^{2}\, t$$($Q$ en joules, $R$ en $\Omega$, $I$ en $\mathrm{A}$, $t$ en $\mathrm{s}$)

Dans l’exemple, en une minute : $Q = 20 \times (\sqrt{2})^{2} \times 60 = 20 \times 2 \times 60 = 2\,400\,\mathrm{J}$.

Piège classique : dans $Q = R I^{2} t$, on prend l’intensité efficace $I$, pas l’intensité maximale $I_{m}$, et la durée en secondes.

En alternatif, chaque dipôle est caractérisé par son impédance $Z$ (en ohms), telle que $U = Z \times I$ avec les valeurs efficaces.

Diagramme de Fresnel

On représente chaque tension par un vecteur tournant dont la longueur est la valeur maximale (ou efficace) et dont l’angle avec l’axe de référence (le courant) est le déphasage. Pour une bobine pure, le vecteur tension est perpendiculaire au vecteur courant et tourné de $90^{\circ}$ dans le sens positif ; pour un condensateur, il est tourné de $90^{\circ}$ dans l’autre sens.

Moyen mnémotechnique : dans une bobine, la tension est « en avance » sur le courant ; dans un condensateur, elle est « en retard ».

Quand une résistance, une bobine et un condensateur sont en série, ils sont parcourus par le même courant. Les tensions ne s’additionnent pas simplement en valeurs efficaces : on les additionne comme des vecteurs (Fresnel).

$$\begin{gathered} Z = \sqrt{R^{2} + \left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)^{2}} \\ \tan\varphi = \frac{L\omega - \frac{1}{C\omega}}{R} \end{gathered}$$

Sans condensateur (circuit $R$, $L$), la formule devient $Z = \sqrt{R^{2} + L^{2}\omega^{2}}$ et $\tan\varphi = \dfrac{L\omega}{R}$.

Si $L\omega > \dfrac{1}{C\omega}$, le circuit est inductif ($\varphi > 0$) ; si $L\omega < \dfrac{1}{C\omega}$, il est capacitif ($\varphi < 0$).

La résonance se produit quand les effets de la bobine et du condensateur se compensent exactement : $L\omega = \dfrac{1}{C\omega}$. L’impédance est alors minimale et égale à $R$, l’intensité est maximale et le courant est en phase avec la tension.

$$LC\omega^{2} = 1 \qquad \omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \qquad f_{0} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

Méthode pour un problème de bac

• 1. Convertir les unités : $\mathrm{mH} \to \mathrm{H}$, $\mu\mathrm{F} \to \mathrm{F}$.
• 2. Calculer les réactances $L\omega$ et $\dfrac{1}{C\omega}$.
• 3. En déduire $Z$, puis $I = \dfrac{U}{Z}$ et le déphasage $\varphi$.
• 4. Écrire $i(t) = I\sqrt{2} \sin(\omega t - \varphi)$ si $u(t) = U\sqrt{2} \sin(\omega t)$.

À la résonance, la puissance consommée $P = R I^{2}$ est maximale.