Dénombrement et probabilités

Dénombrer, c’est compter le nombre d’issues possibles d’une expérience. L’outil de base est le principe multiplicatif : si une expérience se fait en plusieurs étapes indépendantes, on multiplie les nombres de possibilités de chaque étape.

Les listes (p-uplets)

Le nombre de listes ordonnées de $p$ éléments pris dans un ensemble de $n$ éléments, avec répétition possible, est $n^{p}$. Par exemple, un code de 4 chiffres (0 à 9) : $10^{4} = 10\,000$ codes.

Les permutations

Le nombre de façons de ranger $n$ objets distincts est $n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1$. Par exemple 5 élèves sur un banc de 5 places : $5! = 120$ rangements.

Convention : $0! = 1$. Les factorielles grandissent très vite : $10! = 3\,628\,800$.

Quand on choisit $p$ éléments distincts parmi $n$, il faut se demander si l’ordre compte.

$$\begin{gathered} C_{n}^{p} = \frac{A_{n}^{p}}{p!} \\ C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1 \qquad C_{n}^{p} = C_{n}^{n-p} \end{gathered}$$

Mots-clés : « simultanément » → combinaisons ; « successivement sans remise » → arrangements ; « successivement avec remise » → listes $n^{p}$.

L’univers $\Omega$ est l’ensemble des issues. Un événement est une partie de $\Omega$. Une probabilité $p$ associe à chaque événement un nombre entre $0$ et $1$, avec $p(\Omega) = 1$.

Équiprobabilité

$$p(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$$

Règles de calcul

• Événement contraire : $p(\bar{A}) = 1 - p(A)$.
• Réunion : $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.
• Événements incompatibles ($A \cap B = \varnothing$) : $p(A \cup B) = p(A) + p(B)$.
• Événements indépendants : $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$.

Ne confonds pas « incompatibles » (ne peuvent pas se produire ensemble) et « indépendants » (l’un n’influence pas la probabilité de l’autre).

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre à chaque issue. Sa loi de probabilité donne, pour chaque valeur $x_{i}$, la probabilité $p(X = x_{i})$. La somme de ces probabilités vaut $1$.

Vérification : $3 + 5 + 6 + 3 + 1 = 18$, donc la somme des probabilités vaut $\frac{18}{18} = 1$.

On peut alors calculer la probabilité d’un intervalle : $p(5 \le X < 11) = p(5) + p(7) + p(9) = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}$. La valeur $11$ est exclue car l’inégalité est stricte.

La fonction de répartition $F(x) = p(X \le x)$ est une fonction en escalier qui monte de $0$ à $1$ : $F(x) = 0$ si $x < 3$, $F(x) = 1$ si $x \ge 11$.

$$\begin{gathered} E(X) = \sum x_{i}\, p_{i} \\ V(X) = \sum x_{i}^{2}\, p_{i} - \left[E(X)\right]^{2} \\ \sigma(X) = \sqrt{V(X)} \end{gathered}$$

L’espérance est la valeur moyenne obtenue si l’on répète l’expérience un grand nombre de fois. La variance mesure la dispersion des valeurs autour de cette moyenne.

Contrôle rapide : $E(D_{1}) = 4$ et $E(D_{2}) = \frac{1}{2} + 1 + \frac{5}{6} = \frac{7}{3}$ ; on retrouve $E(X) = 4 + \frac{7}{3} = \frac{19}{3}$.

Une variance est toujours positive ou nulle. Si tu trouves une variance négative, cherche l’erreur dans $E(X^{2})$ ou dans le carré de $E(X)$.