Bobines et auto-induction

Un solénoïde (ou bobine longue) est un fil conducteur enroulé en $N$ spires régulières sur une longueur $\ell$ grande devant son diamètre. Parcouru par un courant d’intensité $I$, il crée à l’intérieur un champ magnétique uniforme, parallèle à son axe.

$$B = \mu_{0} \frac{N I}{\ell} = \mu_{0}\, n\, I$$avec $\mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7}$ SI et $n = \dfrac{N}{\ell}$ (spires par mètre)

• $B$ en tesla ($\mathrm{T}$), $I$ en ampères ($\mathrm{A}$), $\ell$ en mètres ($\mathrm{m}$) ;
• $B$ est proportionnel à $I$ : si l’intensité double, le champ double ;
• le sens de $\vec{B}$ est donné par la règle de la main droite (ou du tire-bouchon).

Convertis toujours les longueurs en mètres et les surfaces en $\mathrm{m^{2}}$ avant de calculer : $60\,\mathrm{cm} = 0{,}60\,\mathrm{m}$ et $30\,\mathrm{cm^{2}} = 30 \times 10^{-4}\,\mathrm{m^{2}} = 3 \times 10^{-3}\,\mathrm{m^{2}}$.

Le flux magnétique à travers une spire de surface $S$ traversée perpendiculairement par un champ $B$ vaut $\varphi = B \times S$. Pour les $N$ spires de la bobine, le flux total est $\Phi = N \times B \times S$. Il s’exprime en weber ($\mathrm{Wb}$).

Quand ce champ est créé par le courant de la bobine elle-même, on parle de flux propre. Il est proportionnel à l’intensité : $\Phi = L \times I$. Le coefficient $L$ est l’inductance (ou coefficient d’auto-induction) de la bobine.

$$\Phi = L\, I \qquad L = \mu_{0} \frac{N^{2} S}{\ell}$$$L$ en henry ($\mathrm{H}$)

$L$ dépend seulement de la géométrie de la bobine ($N$, $S$, $\ell$) et du milieu, pas du courant. Comme $L$ varie avec $N^{2}$, doubler le nombre de spires multiplie l’inductance par $4$.

Si l’intensité du courant varie dans une bobine, son flux propre varie aussi. D’après la loi de Faraday, cette variation fait apparaître dans la bobine elle-même une force électromotrice (f.é.m.) induite : c’est l’auto-induction.

$$e = -\frac{d\Phi}{dt} = -L \frac{di}{dt}$$Pour une variation régulière :$$e = -L \frac{\Delta i}{\Delta t}$$

Loi de Lenz

Le signe « − » traduit la loi de Lenz : la f.é.m. d’auto-induction s’oppose à la variation du courant qui lui donne naissance. Quand le courant augmente, la bobine freine cette augmentation ; quand il diminue, elle tend à le maintenir.

• Courant constant (continu établi) : $\dfrac{di}{dt} = 0$, donc $e = 0$ ;
• Ouverture brutale d’un circuit inductif : $\Delta t$ très petit, $e$ très grand, d’où l’étincelle de rupture ;
• Fermeture du circuit : le courant s’établit progressivement, avec un retard.

La bobine se comporte comme un « volant d’inertie » du courant électrique : elle s’oppose aux changements brusques d’intensité.

Tension aux bornes d’une bobine

Une bobine réelle a aussi une résistance $r$. En convention récepteur, la tension à ses bornes est la somme d’une tension « ohmique » et d’une tension due à l’auto-induction.

$$u = r\, i + L \frac{di}{dt}$$

Pour une bobine idéale ($r = 0$) parcourue par un courant constant, $u = 0$ : en régime continu établi, elle se comporte comme un simple fil.

Une variation lente ($100\,\mathrm{s}$) donne une f.é.m. très faible ; la même variation en $1\,\mathrm{ms}$ donnerait une f.é.m. $100\,000$ fois plus grande, soit environ $12\,\mathrm{V}$.

Une bobine parcourue par un courant emmagasine de l’énergie sous forme magnétique. Cette énergie est restituée quand le courant s’annule (c’est elle qui produit l’étincelle de rupture).

$$W = \frac{1}{2} L I^{2}$$$W$ en joules ($\mathrm{J}$), $L$ en henry, $I$ en ampères

Méthode pour un problème de bobine

• 1. Relever les données et les convertir en unités SI ($\mathrm{m}$, $\mathrm{m^{2}}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{s}$).
• 2. Calculer $n = \dfrac{N}{\ell}$ puis $B = \mu_{0}\, n\, I$.
• 3. Calculer $L = \mu_{0} \dfrac{N^{2} S}{\ell}$ (ou $L = \dfrac{\Phi}{I}$).
• 4. Pour une variation de courant : $e = -L \dfrac{\Delta i}{\Delta t}$, en soignant le signe de $\Delta i$.
• 5. Énergie : $W = \frac{1}{2} L I^{2}$ ; vérifier l’ordre de grandeur et l’unité.