Suites arithmétiques et géométriques

Une suite numérique $(U_{n})$ associe un nombre réel $U_{n}$ à chaque entier naturel $n$ (ou à partir d’un certain rang). $U_{n}$ s’appelle le terme de rang $n$.

Deux façons de définir une suite

• Par une formule explicite : $U_{n} = 2n + 1$ ; on calcule directement n’importe quel terme.
• Par récurrence : on donne le premier terme et une relation entre $U_{n+1}$ et $U_{n}$, par exemple $U_{0} = 3$ et $U_{n+1} = 2U_{n} - 1$.

Sens de variation

Pour savoir si une suite est croissante, on étudie le signe de $U_{n+1} - U_{n}$. Si cette différence est positive pour tout $n$, la suite est croissante ; si elle est négative, la suite est décroissante.

À retenir : bien repérer le rang du premier terme ($U_{0}$ ou $U_{1}$) ; il change la formule du terme général.

Une suite est arithmétique si l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$, appelé la raison : $U_{n+1} = U_{n} + r$.

$$\begin{gathered} U_{n} = U_{0} + nr \\ U_{n} = U_{p} + (n - p)r \end{gathered}$$

Trois nombres $a$, $b$, $c$ sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique si et seulement si $2b = a + c$ : le terme du milieu est la moyenne des deux autres.

Somme de termes consécutifs

$$S = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$$

Une suite arithmétique est croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$, constante si $r = 0$.

Une suite est géométrique si l’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$, appelé la raison : $U_{n+1} = q \times U_{n}$.

$$\begin{gathered} U_{n} = U_{0} \times q^{n} \\ U_{n} = U_{1} \times q^{n-1} \end{gathered}$$

Trois nombres non nuls $a$, $b$, $c$ sont trois termes consécutifs d’une suite géométrique si et seulement si $b^{2} = a \times c$.

Somme de termes consécutifs ($q \neq 1$)

$$\begin{gathered} 1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \\ S = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q} \end{gathered}$$

Pour montrer qu’une suite est géométrique, on calcule $V_{n+1}$ et on l’écrit sous la forme $q \times V_{n}$, avec $q$ indépendant de $n$.

Limite d’une suite géométrique $q^{n}$

Par exemple $0{,}7^{n}$ tend vers $0$ et $2^{n}$ tend vers $+\infty$. Une suite arithmétique de raison $r > 0$ tend vers $+\infty$, de raison $r < 0$ vers $-\infty$.

Théorèmes de comparaison

• Si $U_{n} \ge V_{n}$ pour tout $n$ et $\lim V_{n} = +\infty$, alors $\lim U_{n} = +\infty$ (question 4 du bac 2025).
• Si $U_{n} \le V_{n}$ pour tout $n$ et $\lim V_{n} = -\infty$, alors $\lim U_{n} = -\infty$.
• Théorème des gendarmes : si $V_{n} \le U_{n} \le W_{n}$ et si $V_{n}$ et $W_{n}$ tendent vers la même limite $\ell$, alors $U_{n}$ tend aussi vers $\ell$.

Une suite croissante et majorée converge ; une suite décroissante et minorée converge aussi.

Au bac 2025, un supermarché reçoit 8 000 clients le 1^er mois. Chaque mois, 70 % des clients du mois précédent restent fidèles et 3 000 nouveaux clients arrivent. $U_{n}$ est le nombre de clients le $n$-ième mois.

$$U_{1} = 8\,000 \qquad U_{n+1} = 0{,}7\, U_{n} + 3\,000$$

La suite auxiliaire $V_{n} = 10\,000 - U_{n}$

$$\begin{aligned} V_{n+1} &= 10\,000 - U_{n+1} = 10\,000 - 0{,}7\, U_{n} - 3\,000 \\ &= 7\,000 - 0{,}7\, U_{n} = 0{,}7\,(10\,000 - U_{n}) = 0{,}7\, V_{n} \end{aligned}$$La suite $(V_{n})$ est donc géométrique de raison $0{,}7$ et de premier terme $V_{1} = 10\,000 - 8\,000 = 2\,000$.

$$\begin{gathered} V_{n} = 2\,000 \times 0{,}7^{n-1} \\ U_{n} = 10\,000 - 2\,000 \times 0{,}7^{n-1} \end{gathered}$$

Comme $0 < 0{,}7 < 1$, $0{,}7^{n-1}$ tend vers $0$ : $U_{n}$ tend vers $10\,000$. À long terme, le supermarché se stabilise autour de 10 000 clients par mois.

Méthode générale pour $U_{n+1} = aU_{n} + b$ ($a \neq 1$) : le nombre $\ell = \dfrac{b}{1 - a}$ est le point fixe ; la suite $U_{n} - \ell$ (ou $\ell - U_{n}$) est géométrique de raison $a$. Ici $\ell = \dfrac{3\,000}{0{,}3} = 10\,000$.