Logarithme népérien et exponentielle

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur l’intervalle $]0\,;\,+\infty[$ qui s’annule en $1$. Elle n’existe donc que pour des nombres strictement positifs.

$$\ln 1 = 0 \qquad \ln e = 1 \qquad (e \approx 2{,}718)$$

Domaine de définition

Pour une fonction de la forme $\ln(u(x))$, on cherche les réels $x$ tels que $u(x) > 0$. S’il y a aussi un quotient, on ajoute la condition « dénominateur différent de 0 ».

Signe et variations

• $\ln x < 0$ si $0 < x < 1$ ;
• $\ln x = 0$ si $x = 1$ ;
• $\ln x > 0$ si $x > 1$ ;
• $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$ car sa dérivée $\frac{1}{x}$ est positive.

À retenir : avant tout calcul avec $\ln$, écris la condition d’existence (ce qui est dans le $\ln$ doit être $> 0$).

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ et tout entier $n$, le logarithme transforme les produits en sommes. C’est la propriété fondamentale de $\ln$.

$$\begin{gathered} \ln(ab) = \ln a + \ln b \\ \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b \\ \ln(a^{n}) = n \ln a \\ \ln \sqrt{a} = \frac{1}{2} \ln a \end{gathered}$$

Attention : il n’existe aucune formule pour $\ln(a + b)$. Par exemple $\ln(1 + 1) = \ln 2$, alors que $\ln 1 + \ln 1 = 0$.

Résoudre une équation avec ln

Comme $\ln$ est strictement croissante, pour $a > 0$ et $b > 0$ : $\ln a = \ln b \Leftrightarrow a = b$, et $\ln a < \ln b \Leftrightarrow a < b$. La méthode comporte trois étapes : conditions d’existence, transformation avec les propriétés, vérification des solutions.

Une solution qui ne vérifie pas les conditions d’existence doit être éliminée : c’est l’erreur la plus fréquente au bac.

La fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $x \mapsto e^{x}$, est la fonction réciproque de $\ln$. Elle est définie sur tout $\mathbb{R}$ et elle est toujours strictement positive.

$$e^{0} = 1 \qquad e^{1} = e \qquad e^{x} > 0 \text{ pour tout réel } x$$

Liens entre ln et exp

$$\begin{gathered} \ln(e^{x}) = x \text{ pour tout réel } x \\ e^{\ln x} = x \text{ pour tout } x > 0 \\ y = e^{x} \Leftrightarrow x = \ln y \quad (\text{avec } y > 0) \end{gathered}$$

Propriétés de calcul

$$\begin{gathered} e^{a+b} = e^{a} \times e^{b} \\ e^{a-b} = \frac{e^{a}}{e^{b}} \\ \left(e^{a}\right)^{n} = e^{na} \end{gathered}$$

Une équation du type $e^{u(x)} = k$ n’a de solution que si $k > 0$, puisqu’une exponentielle n’est jamais négative ni nulle.

Dérivées

Limites à connaître

• $\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} \ln x = -\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ ;
• $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^{x} = 0$ ; $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{x} = +\infty$ ;
• croissances comparées : $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$ et $\dfrac{e^{x}}{x} \to +\infty$ quand $x \to +\infty$ ;
• $x e^{x} \to 0$ quand $x \to -\infty$.

Ces limites permettent d’étudier les asymptotes. Par exemple, pour $f(x) = \dfrac{e^{x}}{e^{x} - 2}$, quand $x \to -\infty$, $e^{x} \to 0$ donc $f(x) \to \dfrac{0}{-2} = 0$ : la droite $y = 0$ est asymptote horizontale en $-\infty$.

Retiens « l’exponentielle l’emporte sur $x$, et $x$ l’emporte sur $\ln$ » : c’est le sens des croissances comparées.

Les primitives d’une fonction diffèrent d’une constante $C$. Pour trouver « la » primitive qui prend une valeur donnée en un point, on écrit $F(x) = \text{primitive} + C$, puis on calcule $C$.

Plan d’une étude de fonction (Partie B)

• 1. Domaine de définition (conditions sur $\ln$, dénominateurs).
• 2. Limites aux bornes du domaine et asymptotes.
• 3. Dérivée, signe de la dérivée, tableau de variations.
• 4. Points particuliers, puis tracé de la courbe.

Exemple du bac : $f(x) = \dfrac{e^{x}}{e^{x} - 2}$ est définie si $e^{x} \neq 2$, c’est-à-dire $x \neq \ln 2$ : $D_{f} = \mathbb{R} \setminus \{\ln 2\}$.